miércoles, 12 de agosto de 2009

"Elementos de una Circunferencia"


Circunferencia:

Se define como la figura geométrica cuyo conjunto de puntos del plano que la componen, están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Hay que diferenciarlo del círculo, que es el conjunto de todos los puntos del plano que están a menor distancia de un punto fijo. (centro)



*ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:


Cuerda: Es el segmento que se dos puntos cualquiera de la circunferencia.

Diámetro: Es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro (se puede decir que esta divide al circulo en dos partes congruentes).

Arco: Es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.


Radio:Es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.



*A continuacion les mostraremos las rectas que cortan o tocan a la circunferencia:

Recta Exterior: es una recta que no tiene ningun punto de contacto con la circunferencia (E)

Recta Secante: Es una recta que corta la circunferencia en dos puntos. (L)

Recta Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un sólo punto. (T)

*Ángulos en el círculo:

Ángulo del centro: Si tiene su vértice en el centro de ésta, sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.


Ángulo inscrito: Si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas, la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferenca equivale a la mitad del ángulo central que delimita a dicho arco.

Ángulo interior: Si su vértice está en el interior de la circunferencia. Interiores: cuando dos cuerdas se cruzan en el punto interior de la circunferencia, diferente al centro. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos correspondientes y divididos entre dos.


Ángulo exterior: Ángulo exterior de una circunferencia, es aquel cuyo vértice está en el exterior de ella y sus lados la intersectan.


Ángulo semi-inscrito: Un ángulo está semi-inscrito a una circunferencia sí y solo sí si su vertice pertenece a ella, un lado es secante y el otro es tangente a una circunferencia.


*RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DEL CENTRO CON EL ÁNGULO INSCRITO QUE SUBTIENDE EL MISMO ARCO.


La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida de su correspondiente ángulo central (el ángulo del centro con el mismo arco interceptado). Usaremos el mismo dibujo para el ejemplo:
Supongamos que x vale 20... y como esta teoría dice que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo del centro, es decir, que el centro mide el doble... entonces lo que hay que hacer es multiplicar.

20x2= 40




............y listo!




*Angulos interiores y exteriores en una circunferencia:


El ángulo interior equivale a la semisuma de las medidas de los ángulo centrales que subtienden los arcos comprendidos entre las cuerdas




Ej: Supongamos que el ángulo AB=60 y DC=50, entonces como es la semisuma se tienen que sumar los ángulos AB+DC y dividirlas por 2, es decir:


60+50=110:2=55


Ahora que entendiste has este ejercicio tu:
Ángulo Exterior: Es todo ángulo formado por dos secantes que se intersectan en el exterior del círculo.




Ej: Digamos que el ángulo AB= 60 y DC=30, entonces... el ángulo exterior es exactamente lo mismo que el interior sólo que en vez de sumarse, éste se resta.




Entonces sería: 60-40=20:2=10




Ahora haz éste tu:



*ÁNGULO SEMI-INSCRITO Y SU RELACIÓN CON EL ARCO QUE SUBTIENDE:


La medida del ángulo semiinscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco, Es decir,que es igual a la mitad que subtiende el arco entre sus lados



Ej: Resuelve la medida de los ángulos.


*Si el arco AB vale 170° y debemos sacar la mitad como asi lo dice...pues sólo hay que dividir por 2:
170:2=85°

Ahora, aplica tus conocimientos e intenta hacer el siguiente...



*SEGMENTOS CONGRUENTES EN UNA CIRCUNFERENCIA:


En esta sección veremos distintas propiedades de segmentos congruentes en la circunferencia.
De las cuales veremos a continuacion:


PROPIEDAD 1:

" A cuerdas congruentes le corresponden arcos respectivo congruentes".

-Hipótesis: AB es congruente con CD.

-Tesis: el arco de AB es congruente con el arco CD.

-Demostración:

El triángulo AOB es congruente con el triángulo COD (L-L-L) de esta congruencia se deduce que ángulo AOB es congruente con el ángulo COD.


Pero los ángulos del centro miden lo mismo que los arcos, por lo tanto el arcoAC es congruente con el arco CD.


Es importante destacar que el recíproco de la propiedad 1 también es verdadero, esto es¨ a arcos congruentes le corresponden cuerdas respectivas congruentes".



PROPIEDAD 2:


Dos ángulos inscritos son congruentes sí y sólo si las cuerdas respectivas son congruentes.
En este caso el termino si y sólo si , se refiere a que el teorema y el recíproco son válidos, es decir, hay dos teoremas en uno :

2.1. " Si los angulos inscritos son congruentes, entonces las cuerdas respectivas son congruentes".

2.2. "Si las cuerdas son congruentes , entonces los ángulos inscritos respectivos son congruentes " .

-Hipótesis: ángulo ACB es congruente con el ángulo FDE .

-Tesis: AB es congruente con EF.

-Demostración:
Supongamos que el ángulo ACB=FDE=alfa, por propiedad anteriormente vista: arco AB es igual al arco EF=2 alfa.
Pero a arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes (propiedad 1), por lo tanto, AB es congruente a EF .



PROPIEDAD 3:

" Dos cuerdas son congruentes si y solo si están a la misma distancia del centro".
Al igual que la propiedad anterior, demostraremos la propiedad en un sentido


-Hipótesis: AB=CD;
OP es perpendicular a AB y OQ es perpendicular a CD.

-Tesis: OP=OQ

-Demostración:
Los triángulos OAB y OCD son congruentes (L-L-L), por lo tanto las alturas correspondientes son congruentes, es decir, OP=OQ.



PROPIEDAD 4:

"Una cuerda es perpendicular a un diámetro si y sólo si queda dimidiada por este".

-Hipótesis: AB es diámetro y CD es una cuerda de la circunferencia que se interceptan en M; AB es perpendicular a CD

-Tesis: CM=MD

-Demostración:
Triángulo OMC congruente con el triángulo OMD (L-L-A)
OC=OD;OM=OM y el ángulo OMC es congruente con el ángulo OMD (tesis).

Podemos deducir entonces de la congruencia que: CM=MD.



PROPIEDAD 5:

"Si desde un punto en el exterior de un círculo se trazan dos segmentos tangentes a una circunferencia, estos segmentos son congruentes".

-Hipótesis: PA Y PB son tangentes a la circunferencia.

-Tesis: PA es congruente con PB.




*TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA:

Anteriormente pudimos ver que una tangente es una recta que intercepta en un solo punto de la circunferencia. En la figura; TP es un segmento tangente a la circunferencia, siendo T el punto de tangencia.




La recta tangente cumple la siguiente propiedad: "La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia".




-Hipótesis: PT es tangente a la circunferencia en el punto T.




-Tesis: OT es perpendicular a TP.






Antes de la demostración, veamos cómo se definen en general, una recta tangente a una curva en un punto P de ella.






Sea Q un punto variable de la curva que se acerca al punto fijo P, la posición límite de la recta secante, cuando Q se acerca a P, se denomina la recta tangente a la curva en el punto P.




Ahora volvavamos a la demostración: Supongamos que trazamos una recta secante (L) a la circunferencia, que la intercepta en los puntos P y Q. Por el centro O trazamos una perpendicular a PQ que la intercepta en el punto M, si trazamos rectas paralelas a L, veremos que los puntos P y Q se van "acercando" a M, hasta que en la posición límite (cuando L pasa a ser la tangente), OM es perpendicular a L.







Por lo tanto, la recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.




La propiedad anterior, nos permite demostrar lo siguiente: "El ángulo semiinscrito es igual al ángulo inscrito si subtienden al mismo arco".




-Hipótesis: PA es tangente a la circunferencia (ángulo PAB: es el ángulo semiinscrito).



-Tesis: ángulo PAB= ángulo ACB.






-Demostración: Supongamos que el ángulo PAB=x. Como OA es perpendicular a AP (propiedad demostrada anteriormente), se tiene que el ángulo AOB=90º-x




Pero el triángulo ABO es isósceles (OA=OB), por lo tanto: el ángulo OAB= 90º-x= ángulo ABO.




De lo anterior, tenemos que el ángulo AOB=180º- (90º-x+90º-x)= 2x.



Pero el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por lo tanto: ángulo AOB= 2 ángulos ACB, 2x=2y.



Por lo tanto: x=y. Concluyéndose así lo pedido.





La tangente en una circunferencia puede ser:


-Tangentes comunes exteriores: estas son congruentes.


Tangentes comunes interiores: Son congruentes.




*SEGMENTOS PROPORCIONALES EN LA CIRCUNFERENCIA.

Teorema de las Cuerdas:

En cada circunferencia, si dos cuerdas se intersectan en su interior, entonces los segmentos
determinados en cada una de ellas, son inversamente proporcionales.
Al producto de las magnitudes de esos segmentos de cada cuerda, se le denomina potencia del
punto interior ( punto de intersección ).


Teorema de las Secantes:

En cada circunferencia, si dos secantes a ella se intersectan en su exterior, entonces los segmentos
exterior y mayor determinados en cada una de ellas, son inversamente proporcionales.
Al producto de las magnitudes de esos segmentos de cada secante, se le denomina potencia del
punto exterior ( punto de intersección ).


Teorema de la Secante y la Cuerda:

En cada circunferencia, si una tangente y una secante a ella se intersectan en su exterior, entonces
el segmento determinado en la tangente es media proporcional geométrica entre los segmentos
exterior y mayor determinados en la secante.
Al producto de las magnitudes de esos segmentos de la secante, se le denomina potencia del
punto exterior ( punto de intersección ).




*ENTREVISTA:

Nos gustaría saber más de qué aspectos de la geometría ocupan los profesionales y lo mejor es preguntándole a alguien que sepa más del tema...en este caso a un ingeniero...pero no a cualquier ingeniero, sino que a un ingeniero en mecánica llamado Nelson Madrid quien amablemente nos respondió las siguientes preguntas:


Nosotros: Hola, muchisimas gracias por venir,¿ Para qué te sirve la geometría en tus estudios, cómo la usas y en qué?

I. Nelson: La uso para el cálculo de algunos ángulos de maquinaria pesada o en los ángulos de las poleas.




Nosotros: Pero...¿Tu calculas ciertas distancias en las poleas para qué?




I. Nelson: Porque el ángulo de las cámaras deben ser geométricas para obtener el volumen correcto.




Nosotros: ¿Sólamente lo aplicas para eso?.




I Nelson: Si, nos sirve para calcular la fabricacion de un motor, tu puedes ver que esto es muy importante, por lo tanto nosotros tenemos que saber circunferencia sí o sí.




Nosotros: Entonces utilizas todo lo relacionado con la circunferencia, ¿es así?

I. Nelson: Absolutamente, porque es de forma cilíndrica y con una cámara hemisférica.




Nosotros: Muchísimas gracias por su atención y tiempo... esas fueron las preguntas que nos inquietaban por conocer.




*HISTORIA DE LA CIRCUNFERENCIA:

La edad de oro de la matemático griega es el período que comprende del 300 al 200 a.C.

En ella se destacan tres figuras importantes: Euclides, Arquímides y Apolonio.

Euclides se destacó por sistematizar en su obra Los Elementos todo el saber matemático hasta ese entonces.

Arquímides se destacó en diversos ámbitos, su genio para la matemática se unía a su talento para la mecánica, de modo que es considerado como el padre de la ingeniería mecánica.

Apolonio, que es el menos conocido, fue un verdadero especialista en geometría.

Apolonio vivió aproximádamente desde el 262 a.C al 190 a.C., respecto de sus obras se han perdido casi todas, solo dos de ellas han llegado hasta nuestros días; "Secciones en una razón dada" (no se tiene el original, sino una traducción al árabe) y "Las Cónicas" (el original está hasta la mitad, el resto es una traducción al árabe).

"Las Cónicas" está formada por 8 libros y en el 4º trata de las maneras que se puede cortar un cono por un plano.

Al cortar un cono circular por un plano( ver figura adjunta) se puede obtener un círculo, una elipse, una parábola, líneas convergentes y una hipérbola

Estas secciones cónicas son un instrumento teórico fundamental en la dinámica o mecánica terrestre, ya que los proyectiles y satélites siguen curvas de este tipo.

La obra de Apolonio influyó fuertemente en la obra Principia de Newton, la cual permitió que el ser humano llegara a la Luna en 1969. Tal como lo descubrió Apolonio, al trazar un plano perpendicular a un cono circular se genera como intersección una circunferencia.




Euclides Arquímides




Apolonio










*Mapa Conceptual de los contenidos vistos:











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